ブログ　数学

２年生は、１２月は黄色い本のⅡＢの例題をしっかりとやりましょう。３月からⅠA・ⅡBの復習を黄色い本でします。その時のために、12月は必ずⅡＢを一回りは終わらせておきましょう。

安田塾の2年生の半数ほどは7月に入ってから「数学の点数が面白いほどとれる本」を使って数学ⅠAの復習をしています。この夏休みに数学ⅠAの復習をすることはとても重要です。この本をできれば夏休み中に2回か3回やっておくとよいでしょう。3年生になる春の段階で大きな差ができますので、今のうちに頑張っておきましょう。

安田塾の2年生は、3月から主に数学Ⅱを勉強してきました。数Ⅱの予習がだいぶ進んでいる人も多いです。

今週から学校の授業も本格的に始まっています。塾ではこれから、数学Bの数列かベクトルを勉強していきます。初めは簡単でも次第に難しくなっていく単元ですから、気を抜かないように勉強していきましょう。

あと一か月で中間テストです。学年の初めによいスタートが切れるように、テストに向けて頑張って勉強していきましょう。

定期テストが終わり、2年生は黄色い本（『数学の点数が面白いほどとれる本』）のⅡBを勉強しています。この本は、3月から始める入試勉強の基礎になりますから、しっかりと学習しておきましょう。

1週間に２５パターンずつ宿題に出していますが、やってこられる人とやってこられない人がいます。この本は入試勉強の基礎になりますから、なるべく毎週25パターンずつ勉強して、12月中に1回やり終えるようにしましょう。

2年生の皆さん、頑張りましょう。

生涯

1826年に貧しい家庭に生まれたベルンハルト・リーマンは、19世紀でもっとも著名な数学者の一人で、ドイツ出身です。病身のため研究生活は短く、３９歳で亡くなりました。

リーマンの名を持つ定理

特に、幾何学への貢献は大きく、彼の名を持つ定理が多くあります。以下に数例を挙げます。

リーマン幾何学

リーマン面

リーマン積分

リーマン予想

彼が残した一番有名なものは、素数の分布に関する問題でしょう。それは、”リーマン予想”と呼ばれています。一度は聞いたことがあるのではないでしょうか。

この問題の証明は非常に難しく、現在でも未だ証明されていません。７つあるミレニアム懸賞問題の一つで、その賞金額はなんと一億円です。（ミレニアム懸賞問題とは、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された100万ドルの懸賞金がかけられている7つの問題のことです。）

リーマンの研究は先駆的で十分に理解されなかった

リーマンは、アーベル関数の研究によって当時の数学者から高く評価されましたが、その他の研究では、時代を先取りし過ぎていたため、当時の数学者には十分には理解されず、その研究分野が正統な評価をされたのは、20世紀になってからのことでした。

いま、3年生で不定積分を勉強している人も多いです。

不定積分はランダムに出題されたときに解けるかどうかが、ひとつのポイントになります。教科書や問題集を順に解いていくと、次はどういう解き方なのかわかってしまいます。初めはそれぞれの積分の解き方を理解するために順番に解いていきますが、2回目に解くときからは、問題をランダムに並べて解いてみることもやってみてください。

ランダムにした時に解法を思い出すことができるようになるまで、同じ問題を何回もやってみましょう。

2年生でいま数列を勉強している人も多くいます。

数列では、公式をしっかりと覚えておくことが大切です。等比数列までは、まだそれほど多くの公式は出てきませんが、その後から次第に公式が増えていきます。知らないうちに覚えるべき公式が多くなっていきます。気づいた時には、公式を覚えていないために問題が解けなくなってしまっている生徒も多くいます。

まだ数列が始まったばかりですので、出てくる公式をひとつひとつしっかりと覚えていくことを心がけていきましょう。ここが数列のポイントです。

2年生は黄色い本（『数学の点数が面白いほどとれる本』）を12月に入ってから勉強しています。ⅠＡは7月に1回終わっているので、今回はⅡＢを進めています。ⅡＢも12月中に１回終わるのが目標です。黄色い本を1回勉強するだけで完璧になる人はまずいません。3月から2回目をやっていきますが、なるべく早く1Ａ・ⅡＢともに完璧になるようにしていきたいものです。そのためにもこの12月に勉強するときも、なるべく内容が頭に残るように勉強していきましょう。

今日勉強した黄色い本の内容を、家に帰ってからもう一度頭の中に思い浮かべてみるのもよいかもしれません。一度試してみてください。

　数学のテスト勉強をしている時に、どの問題が重要かを考えながら問題を解いていくことは大切です。

　一つのヒントは、教科書の応用例題です。教科書に載っている応用問題は、よくテストに出ます。テスト範囲の問題集をやっている時に、どの問題が教科書の応用例題と同じ問題なのかを、いつもチェックしておくとよいでしょう。どの問題が重要例題か見分けがつくということだけでも、とてもよいことだと思います。

　定期テストにはまだ早いこの時期ですが、今から学校の問題集をやるときに、教科書の応用例題がどれかを意識してやってみましょう。メリハリのついた勉強ができるはずです。

　２年生の文系の人の多くが今群数列を勉強しています。群数列は、苦手な人とそうでない人に差が大きく出てしまう単元です。

　しかし、群数列が苦手な人でもまずやっておきべきコツが一つあります。それは、「群の番号」「項数」「個数」を問題の群数列の上下に書き込むというものです。このとき、第（ｎ－１）群と、第ｎ群も必ず書くようにしましょう。

数学でよく分からない時に、なるべく視覚的にとらえるとよいのですが、群数列もこの作業をすると少し視覚的にとらえることができます。群数列の問題をやるときには、まず「群の番号」「項数」「個数」を問題の群数列に書き込む様にしてみましょう。

　今朝の朝日新聞の一面に「ABC予想が証明された」という記事が載っていました。思わず端から端まで記事を全部読んでしまいました。「フェルマーの最終定理」のときもそうでしたが、数学の未解決問題が証明されたと聞くと、なぜかワクワクしてしまいます。エベレスト発登頂や人類初の月面着陸などの冒険話を聞くときと同じようにワクワク感じてしまいます。

　数学の面白さのひとつに問題が解けた時の達成感があります。あなたも１度や２度は数学の問題が解けて「やったー！できた！」と感激したことがあるのではないでしょうか。未解決問題が解けた記事を読んでワクワクするのは、証明した人から少しだけその達成感を分けてもらい、ワクワクしているのかもしれません。

　定期テスト終了後に２年生は黄色い本（数学の点数が面白いほどとれる本）を勉強します。

　１２月の間にこの本に載っている例題１００問をすべて解きます。１２月に数学ⅡＢを復習し、３月からの入試勉強の準備をしておきます。宿題も含め毎週２５問の計算になりますが、頑張って４週間続けましょう。

　今回の定期テストで数Ⅲの極限がテスト範囲に入っている人も多いと思います。極限値の問題では「分かる人」と「分からない人」の差が大きくでます。

　極限値の苦手な人の中には、100分の1が大きな数なのか小さな数なのかを直感的に分かっていない人がいます。こういった人の多くは、1÷１００を筆算をして0.01と出してからそれが小さい数だと判断しているようです。１を１００に分けたら（例えば１個のリンゴを１００個に切り分けたら）とても小さくなるという感覚がないようです。りんごの例のように数を大きさとして視覚的にとらえるという感覚も大事ではないでしょうか。

　次回のテストで漸化式がテスト範囲になる人も多いと思います。

　漸化式は、「等差数列」「等比数列」「階差数列」「1次の特性方程式を使って解くもの」の4種類の問題が基本となります。漸化式の学習では、まず初めに、これら4つの問題の区別ができるようにしておきましょう。これらが区別できないとより難しい漸化式を解くときに戸惑うことになってしまいます。

　上の4つの漸化式以外の応用的な問題にはだいたい6～9種類のものがあります。これらのものは、問題を解くパターンが決まっています。その手順をしっかりと理解して覚えましょう。「これらのうちのどれか」が出題される可能性は極めて高いですから、必ずできるようにしておきましょう。きっと得点源になることでしょう。

　微分の極限のあたりが定期テストの範囲になっている時、次のような問題がよくテストに出題されます。

　「3次関数が単調に増加するときに定数aの値の範囲を求めよ。」（式など略）

　微分した2次関数の判別式をとるのですが、この場合、判別式はゼロ以下にしなければなりません。増加につられてゼロ以上にしないようにしましょう。

　高校生の多くの人が毎年この問題を間違えています。イコールを含め、間違えないようにしましょう。

　週２日間、塾で数学を勉強している人と、１日だけの人では、高校授業の予習の進み具合がずいぶん違います。特に８月の間には大きな差がついています。

　ある高校の２年生では、週２日の人は微分・積分の予習が終わっているのに対して、１日の人は微分までしか終わっていません。中間テストの範囲を終わって復習をしている人（微分・積分の終わっている人）と、範囲まで行きついていない人（微分までしか終わっていない人）の間には、時間的に大きな差があります。

　週１日の人は、これから学校の進度に遅れないように、また定期テストに間に合うように授業を進めていきます。

　塾の先生としては、時間的な余裕が出ることから、「週２日で教えることができるといいな～。」とよく思います。

　ガウスは微分積分学を用いる曲面の研究を大きく発展させました。測地学においても偉大な業績を残したガウスは実際の測量と並行するように曲面の研究も行い、曲面の球面表示を考え出しました。

　ガウスの曲面論はリーマン（1826-1866）に受け継がれ、高次元の図形の理論へと一般化されました。さらにこのリーマンの幾何学はアインシュタインの一般相対性理論に適用されることになっていきました。

　一般相対性理論が生まれる150年も前にガウスがその数学的な発想のもととなる考えかたを作り上げていたことに驚かされます。

 オイラーの名前のついた方程式などはたくさんあります。その中でも高校生が目にしそうなものをいくつか以下に書いてみました。（累乗は＾と表しています。）興味のある人は一度教科書やチャートを見てみましょう。

1：オイラーの多面体定理（数Aの教科書　空間図形）

任意の穴の開いていない多面体において，

（頂点の数）-（辺の数）+（面の数）=2

2：オイラー線（数Aのチャート　図形）

三角形の外心 O，重心 G，垂心 H は1直線上にあり，OG:GH=1:2

この直線をオイラー線といいます。

3：オイラーの定理（数Aのチャート　整数）

a＾ϕ(n)≡1modna＾ϕ(n)≡1modn　　（n は自然数，a は n と互いに素な整数）

ϕ(n) は n と互いに素な 1 から n−1 までの自然数の中で n と互いに素なものの個数を表し，オイラーの ϕ 関数と呼ばれます。

4：オイラーの公式（大学1年生で習います）

e＾ix=cosx+isinx 

自然対数の底 e，虚数単位 i，円周率 π が共存する非常に美しい等式です。

レオンハルト・オイラー　1707年-1783年

　オイラーは、現在用いられている三角関数の記法や、三角形の角をA,B,Cとし、その対辺をa,b,cと表す記法を導入しました。また、和の記号Σや虚数単位ｉ、自然対数の底ｅといった記号もオイラーに由来します。また、関数を f(x) のように書く表記もオイラーによるものです。

　オイラーは多くの数学の分野で数えきれないほどの業績を残したのに加え、 力学など物理学分野でも重要な仕事を数多く成し遂げています。

　オイラーは、18世紀ヨーロッパが生んだ史上最大と言っていい数学者・数理科学者で、彼の書いた本や論文は生前に出版されただけでもおよそ560編に上り、数学・物理学の発展に多大な影響を与えました。

　ドイツ系スイス人ですが、ロシアとドイツの科学アカデミーで活躍しました。

　『数学の点数が面白いほどとれる本』を勉強している2年生の多くが、

「ⅠAの内容の多くを忘れているので見直しておきたい」

と言っています。

　不安な問題は2回、3回とやって定着させとおきましょう。時間がないかもしれませんが、夏休みの間にぜひ時間を取って塾の宿題以外でも『数学の点数が面白いほどとれる本』を繰り返しを勉強しておいて下さい。

　ガウス（1777-1855）はドイツの有名な数学者です。数学ばかりでなく、物理学者でもあり、天文学者でもありました。

　数学の教科書では、数Ⅲの「ガウス平面（複素数平面）」と「ガウス記号」、物理では、電気力線のところで「ガウスの法則」にガウスの名前がついています。高校の教科書の別の分野に3か所も登場するガウスはいったいどんな人だったのでしょうか。

　ガウスは天才的な数学者でした。ガウスの業績は多岐にわたりますが、小学校の頃にあった有名な逸話があります。

　ある時、1 から 100 までの数字すべてを足すように課題を出されました。それを彼は、1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, …, 50 + 51 = 101 となるので答えは 101 × 50 = 5050 だ、と即座に解答して教師を驚かせたそうです。数列を習っている現代の高校生には簡単なことかもしれませんが、小学生だったガウスが自分でこの問題を考えたところがすごいですね。それも即答だったようです。

　ガウスの業績については、またの機会に。

　安田塾の塾生の2年生、3年生には現在『数学の点数が面白いほどとれる本』を勉強している人が多くいます。3年生は総仕上げのテストをしている人が多いです。

　2年生は7月から数ⅠAを始めています。7月中に数ⅠAを一回終わらせる予定で皆さんには頑張って宿題をやってきてもらっています。

　この『数学の点数が面白いほどとれる本』は、入試で押さえておきたい基本事項がⅠA、ⅡBで各100問程度載っています。量が適当なことと、本当に大切なことがらがコンパクトにまとめられているところが、この本のよいところです。この本に乗っている問題は必ず全問解けるようにしておきましょう。

　多くの高校の1年生で2次関数の授業が始まりました。この2次関数の単元では、これから大学入試までに習う関数の中で使用する基本的な考え方を数多く習います。対称移動、最大最小、不等式など重要項目が目白押しです。

　これらの重要項目の多くは2学期のテストにまわるでしょうが、2次関数に不得意感を持たないように今回のテストからしっかりと勉強しておきましょう。特に平方完成は正確にできるようにしておきましょう。

　進み具合が早い高校では最大値・最小値の問題がテスト範囲に入るかもしれません。最大値・最小値の問題がテスト範囲に入る高校では、特にここをしっかりと勉強しておいて下さい。難しく感じる人も多いと思います。

　2年生でベクトルを習っている人は、「図形への応用」や「ベクトル方程式」を学習中の人が多いと思います。ベクトルの中でも「図形への応用」、「ベクトル方程式」は特に重要なところです。

　センター試験でも2次試験でも少し難しいベクトルの問題はこのあたりを基礎にして出題されます。3週間後の定期テストでもここが山場になります。

　まずは、教科書に載っている例題を解けるようにしておくことと、ベクトル方程式の公式を完璧に覚えることをしておきましょう。

　高校3年生で5月6月に定積分を習っている人も多いと思います。大学入試を考えると、不定積分と定積分の計算が確実にできることは非常に大切なことです。これらの計算と区分求積法までの応用が数Ⅲの中でも一番大切と言っていいかもしれません。実際の入試でこのあたりのことが問われることも非常に多いです。

　次回の定期テストでここがテスト範囲になる人は特に力を入れて勉強してください。この定期テストで受験レベルまで積分の実力をあげておきましょう。

ほとんどの高校では、2年生の数学Bの授業はベクトルから始まっています。

ベクトルの習い始めで注意しておかなくてはならないのは、「ベクトルの引き算」です。簡単そうに見えますが、「どちらから引くのか」をいちいち考えていては高校の先生の説明にもついていけなくなってしまいます。引き算は見た時にすぐに計算や図示ができるように練習しておきましょう。

引き算ができずにその先のベクトルが分からなくなっている人が結構います。そうならないために、「ベクトルの引き算」を甘く見ないようにして、しっかりと勉強してください。

　国公立大学の受験校が決まったら、まずは各大学の赤本をやりましょう。これは数学に限らずどの教科も同じです。

　ここからは数学の話です。赤本を解いて解けなかった問題は、類題を探して解いておきましょう。しかし、なかなか同じような問題が見つからない時の方が多いので、例えば数学Bの漸化式でつまずいたら、自分の今までに勉強してきた教材の中から漸化式の単元で同じようなレベルの問題を解いてみましょう。同じ種類の問題がない時でも自分の勉強してきた数学の問題集で、今までにできなかった漸化式の問題をなくすようにしていきます。高校数学の教科書でもいいでしょう。

　赤本を解き、今までに自分のやってきた数学の問題集の穴をなくしていくということを繰り返していき、自分のやってきた問題集の総復習をしながら数学の穴をなくしていきましょう。

　どの問題、どの問題集を勉強したらよいのかが分からない場合、塾生のみなさんは、授業の時に聞いて下さい。